章钧豪-物理世界

时空真的是弯曲的吗 ?

章钧豪陈湘

摘要

时空是弯曲的 , 还是平直的 ? 判断这个问题的实验标准是: (1 ) 光红移 , 光偏折和行星近日点的移动三个实验的结果是有利于平直时空的引力理论 , 而不利于广义相对论 ; (2 ) 在GP-B实验中, 如果轨道 (短程线 )效应陀螺角加速度的实验值是

而地球转动 (坐标系拖曳 )效应的角加速度的实验值是

则时空是平直的 . 如果这两种效应的陀螺角加速度的实验值分别是

则时空是弯曲的 .

时空是弯曲的吗 ? 如果人们想回答这个问题 , 则需要弄清判断时空是否平直的实验标准是什么 ? 牛顿引力不是一个满足狭义相对论协变性的公式 . 因此它的结论并不代表平直时空的性质 . 如果存在一个建立在平直时空基础上的新的引力理论 , 并且它满足狭义相对论协变性要求 .那么我们就能够由这一理论导出判别时空是否平直的实验标准 .

在我们前面的工作中 , 我们提出一个新的引力理论 ---狭义相对论引力理论 . 现在让我们比较建立在不同时空基础上的两类理论 ---狭义相对论引力理论和广义相对论数学结构的差别 , 这样才有可能弄清时空是否平直 .

1 . 两种引力理论的数学结构的差别

前面工作提出狭义相对论引力理论的第一基本假定是 ; 引力质量与惯性质量相等 . 根据这一假定得到 4维引力具有如下形式

(1 )

式中是被作用物体的 4维速度, 是引力场的场强 . 根据狭义相对论关系

(2 )

引力的 3维形式是

(3 )

式中是被作用物体的 3维速度 . 其次

(4 )

这里重要的是 ,根据方程式 (2 )得到 ,(3 )式的第四项的方向与垂直 . 方程式(1 )的数学形式刚好与广义相对论的方程

(5 )

相同 . 式中符号 , 是用来区别狭义相对论和广义相对论的对应物理量 . 因此问题集中在广义相对论和狭义相对论引力理论两种引力理论中场强和的差别 . 根据 (2 )式和对 , 的对称性 . 我们得到

(6 )

方程式 (3 )的第一项是与 3维速度无关 (除因子外 ). 因此这一项是牛顿项 . 根据牛顿引力势和引力势方程在洛仑兹变换下的协变性 , 可以得到引力势方程的唯一可能形式是

(7 )

式中是一个待定系数 . 如果选择 , 则狭义相对论引力理论的第二基本假定是引力场方程具有如下形式

(8 )

牛顿引力势是经典引力观察的总结 . 它只与弱场有关 . 因此这一方程仅仅是线性近似方程 .

在弱场近似下广义相对论的度规张量可写为

(9 )

式中是度规矩阵

(10 )

和它的导数是一阶小量 . 在这种情况下广义相对论的场方程简化为

(11 )

由于上式的右边一个包含因子 , 因此可以只取零阶近似 . 这时 . 因此在线性近似下 , 的方程是与的方程类似 . 因此有

(12 )

当然与的物理意义与不同 . 在广义相对论相中场强与势的关系是

(13 )

把 (12 )式代入 (13 )式 , 并与 (6)式比较 , 可以得到

(14 )

(15 )

式中

(16 )

代表两个理论的基本数学差别 .

让我们把 (1 )式重写为

(17 )

(18 )

应用 (14 ),(15 )和 (4 ), 我们可以把 (5 )式写为

(19 )

(20 )

式中

(21 )

如果所有的都为零 , 则广义相对论的动力学方程变为狭义相对论引力理论的方程 . 因此问题的焦点变为 , 我们能否证认明 : 由实验确定的全部值都为零.

2 . 物体在静止球体所产生的引力场中的运动

根据 (8 )式 , 我们得到静止球体的引力势是

(22 )

式中是球的半径 . 由此得到

(23 )

因此 (3 )式简化为

(3’)

这个方程的第一项是牛顿引力项 , 第二项是附加引力项 , 它的方向与速度正交 , 因此这一项不做功 .

在这种情况下方程式 (17 ), (18 )变为

(24 )

(25 )

物体的能量是与成还正比 , 由 (24 )式得到能量积分

(26 )

由 (25 )式我们得到角动量积分是

(27 )

这是物体在静止球产生的引力场中运动时的两个运动积分 . 根据 (26 ), (27 )两式得到物体的轨道方程是

(28 )

式中 , 和是两个常数 . (28 )式的解具有如下形式

(29 )

由 (28 ), (29 )式得到对行星运动有

(30 )

因此行星近日点的移动是

(31 )

这一结果与观察一致.

对于光子 ,运动方程式 (26 )和 (27 )式仍然正确 . 当光从太阳 ( )运动到地球 ( )时 , 其能量变化是

(32 )

根据爱因斯坦的能量与频率的关系式 , 可以得到

(33 )

这个式子与观察结果一致 . 光红移实验直接证明 : 附加引力没有做功 , 平直时空的结论是正确的 .

如果在 (28 )式中取 , 它是一个正确描述光子运动的方程

(34 )

这时上式的解仍具有 (29 )式形式 , 把它代入 (34 )式可得到

(35 )

最后得到光的偏折角是

(36 )

这与光偏折角的实验值完全一致.

这些事实表明: (i )狭义相对论引力理论一致地描写了物体在静止球体产生的引力场中的运动 . 三个经典相对论引力实验不能用来证明时空不是平直的. (ii)的实验值是

(37 )

下面让我们讨论第二个问题, 这三个实验真的证明时空弯曲吗 ? 当一个物体在静止球的引力场中运动时 , (19 )式和(20 )式简化为

(38 )

(39 )

按照广义相对论 , 和是非零的矩阵元 , 其余的均为零, 其中的表示式是

(40 )

样由 (38 )式可以得到广义相对论的能量积分

(41 )

因此有

(42 )

式中 “2” 因子格外重要. 我们把广义相对论方程写成 (19 ), (38 )式的形式是为了弄清 “2” 因子的来源 . 在 (41 )式中, 代表牛顿引力对能量变化的贡献 , 代表非牛顿项对能量变化的贡献 . (40 )式意味着这两种贡献是一样大的 , 其结果使得式中出现一个 “2” 因子 .

按照 Schwerzchild准确解的一阶近似 , 我们同样得到

(43)

通常人们认为: 广义相对论得到这三个实验的支持 . 其实这句话的意义只是由(42 ), (43 )式导出的行星近日点的移动和光偏折角与观察一致. 由度规张量导出的光的红移也与实验一致 . 但是这是不够的 . 因为根椐光能量与频率的关系及光红移的实验值得到 , 能量的变化是

(44 )

广义相对论导出的 (42 )式与实验值相差一个 “2” 因子. 所以严格讲 (原来的 )广义相对论只得到两个半实验的支持 . 由于这一基本的矛盾 , 许多人试图建立新的理论或给出修正 . 所有新理论或修正都必须受新实验的检验 , 特别是 GP-B实验的检验 .

合理的推理应该是:

光红移实验指出 (42 )式中的 “2” 因子是不正确的 . 这－事实说明非牛顿项对能量变化没有贡献 . 因此的实验值应为零 .

在其它实验中, 特别是光偏折实验中 , 人们没有理由相信 (42 )式是正确的 . 广义相对论虽然解释了行星近日点移动和光偏折实验 . 但是 (42 )式是不正确的 , 所以这种解释的正确性变得非常可疑 .

如果人们删去 (42 )式中的 “2” 因子 , 则这个式子变为 (26 )式 . 在这种情况下 , 你如果想得到行星近日点移动和光的偏折角的实验值 . 唯一可能的办法就是把 (26 )式与 (27 )式联立 . 这意味着的实验值应是零 , 所以我们得到在静源情况下所有的的实验值都为零.

结论是: 三个经典相对论引力实验其实未能证明时空弯曲是正确的.

上述解释是否正确可以由GP-B实验作出判定 . 如果陀螺轨道 (短程线 )效应的进动率是 4.4弧度秒 /年 , 那么上述讨论和结论是正确的.

3 . 陀螺在运动场源所产生的引力场中的进动

当场源运动时 , 它所产生的场强分量 , . 两个引力理论都预期存在着与受作用物体 3维速度线性相关的 (除因子外 )附加引力 . (3 )式中第二, 三项都与成正比 . 所以在低速情况下 , 这两项所产生的效应比牛顿项的效应小得多 . 因此测量这两项是否存在的最好方法是 , 把一个陀螺安置在引力场中 , 并测定它的进动角速度 . 如果陀螺是均匀球体 ,则牛顿项对陀螺的进动没有影响 . 这时人们可以直接测定引力中与 3维速度线性相关项的大小 . 当然进动率很小 , 如果人们希望获得可靠的结果 , 测量就必须极精确 . 这是极困难的 .

对于均匀球状陀螺由 (3 )式可以导出

(45 )

如果把 , 代入 (45 )式 , 就可以得到广义相对论的相关方程 .

美国史坦福大学和国家航空宇宙航天局合作, 计划进行一项称为 “用轨道陀螺---引力探测器 B---检验爱因斯坦 ” 的新引力实验 . 简称 GP-B实验 . 在这个实验中 , 4个旋转的陀螺被安置在绕地球运动的卫星上 . 当卫星作轨道运动时 , 在卫星瞬时静止坐标系上看 , 地球绕卫星运动 , 此外地球绕自转轴旋转 . 旋转陀螺用来探测地球作这两种运动所产生的引力场分量 , . 为区别起见用 ,代表地球绕卫星运动所产生的引力场强分量 . 用代表这一场强分量产生的角加速度 , 并简单称之为轨道效应 . 用符号 , 表示地球自转产生的引力场强分量 , 用代表这一场强分量所产生的角加速度并称为自转效应 .

(3-1 )轨道 (短程线 )效应

在地球参照系中 , 地心是静止的 . 静止球产生的引力场张量势是 (22 )式 . 应用洛仑兹变换可以求出卫星瞬时静止系中观察的引力场张量势 . 最后得到

(46 )

(47 )

(48 )

(49 )

式中是单位张量 , 是由地心到卫星的距离 , 是地球静止系中观察到的卫星的速度 . 由于卫星坐标系是－个加速坐标系 , 因此在 (45 )式中应增加一个Thomas进动项

(50)

由于卫星绕地球一周的周期比陀螺进动周期短得多 , 因此可以用平均场强代替瞬时场强 .

(51 )

在广义相对论中还应考虑的贡献 . 因此得到

(52 )

这个式子与 Schiff ,L .I . (1960 )求出的一致 . 该式用来求广义相对论的短程线效应进动率 . GP-B组根据这个式子和实验条件求出短程线进动率是 6.6 弧度秒 /年 . 因此狭义相对论引力理论预期的轨道效应进动率是 4.4弧度秒 /年 .

上面讨论中 , 我们以狭义相对论引力理论的两个基本假定作为推导轨道效应进动率的前提 . 然而存在另一种推导轨道进动率的方法 . 以三个经典相对论引力实验结果作为前提 , 可以找出引力公式和静止球体产生的引力场全部分量 . 应用洛仑兹变换 , 可以求出运动球体产生的引力场场强分量, 进一步求轨道短程线效应进动率 . 最后结果与 (51 )式完全一致 . 因此在 GP-B 实验中获得狭义相对论引力理论的预期值的可能性是极大的 . 如果轨道效应进动率的实验值很接近 4.4弧度秒 /年 , 则这一事实将可以反过来推出我们对三个经典相对论引力实验的讨论是对的 .

(3-2 ) 地球转动 (坐标拖曳 )效应

由(8)式 , 可以得到地球转动产生的场强