在引力问题上的争论

章钧豪 陈湘

引力是通过什么模式传递作用的呢 ？时空真的是弯曲的吗 ？这是物理学的基本问题 . 本文将简单介绍这个问题的讨论情况和相关的实验结果 .详细严密数学推导将在另外几篇文章中介绍 .　

(I)三个基本的引力理论

(1)经典引力理论

经典引力理论的核心是牛顿的引力公式

(1)

和牛顿第二定律

(2)

牛顿引力理论是建立在平直时空基础上的 . 我们日常生活中见到的重力是地球对地面上物体的引力 . 经典引力理论主要成就是解释地面上物体的斜抛运动和行星的椭园运动 .

(1)式和(2)式都出现质量 . 严格考虑 ，这是两种不同的质量 . (1)式中的质量是从引力大小去衡量的质量 ，叫做引力质量 . (2)式中的质量是从惯性角度去衡量的质量 ，叫做惯性质量 . 牛顿注意到这两种质量在意义上的区别 . 惯性质量与引力质量是否相等呢 ？如果相等 ，这一事实意味着什么 ？很多物理学家设计并进行了很多实验 ，结果都得出这两种质量是相等的 ，

(3)

在我们日常生活中是把这两者混在一起 .

牛顿没有回答 ：(a)惯性质量与引力质量相等意味着什么 ？ (b)一个物体怎样对另一个物体作用 ？或者引力是怎样传递的 ？这两个问题之间有没有联系 ？

(2)广义相对论的基本想法

爱因斯坦首先注意到牛顿引力理论中的这两个问题 . 从这两个最基本的问题出发去考虑引力 . 惯性质量与引力质量相等意味着什么 ？它意味着所有物体, 不管它的质量如何都应具有相同的加速度或沿相同的曲线运动 .

一个物体如何对另－个物体作用呢 ? 爱因斯坦提出了一个很古怪的的想法 ：一个物体 ( 例如太阳 ) 使自已周围时空弯曲 ，其它物体 ( 例如地球 ) 不管它的质量大小如何，在弯曲时空中沿短程线运动 . 爱因斯坦认为这是引力传递的方式 . 这个理论称为广义相对论 . 这里有两点要略加说明 : (i) 什么叫时空弯曲 ? 举个例, 如果把平面中勾股定律

图1 平直面上勾股定律成立

修改为

就是平面上的扭曲 . 把这种做法推到 3维空间和时间 (共 4维 )就是时空弯曲.

(ii)短程线方程是

(4)

式中 是 4维速度 ，是 4维加速度 . 这个式子的数学意义是 , 4维加速度是 4维速度的二次函数 . 可见爱因斯坦在解决引力传递问题时巧妙应用了 这－基本物理事实 .

目前除爱因斯坦的广义相对论还有很多“变种”.　

(3)狭义相对性引力理论

1990年我们在平直时空基础上建立－个新的引力理论――狭义相对论引力理论 . 我们考虑了三点 : (i)引力传递模式 ; (ii)在所有惯性系中引力定律具有相同形式 ; (iii)引力质量与惯性质量等价 .

在日常生活中 ，甲乙两人分开一段距离 ，甲要打乙 ，必需藉助某一物体 ，例如扔出一块石头 . 这就给物体间的作用提供一种图象 ：甲物体产生 ( 扔出 ) 一种东西 (就把它叫做引力场 )，这种东西带着一定动量 ，飞到乙物体 ，并把所带的动量交给乙物体 ，完成传递作用的任务 . 用物理的术语讲 ，引力场传递甲物体

图2 (a)甲藉助石头对乙作用 (b) 甲物体藉助引力场对乙物体作用

对乙物体的作用 . 这个模型称为普适模型 . 可以把这个模型归结为 ：

(i)平直时空保持不变 ;

(ii)甲物体产生一个引力场 ，引力场从甲物体所在处传到乙物体所在处 ，对乙物体发生作用 .

显然这个模式类似于电磁作用 .

引力到底是通过普适模型传递作用的呢 ? 还是通过时空弯曲模型传递的 ? 这要通过实验耒判定 . 我们的工作是弄清在普适模型下会有什么结果 .

到目前为止 , 所有的实验都证明 : 所有惯性坐标系观察物理现象是等价的 . 物理定律在所有惯性系中具有相同形式 ( 洛仑兹变换下的协变性 ) . 牛顿引力并不具备这种性质 . 现在我们考虑这一点 , 看看会得到什么结果 ?

狭义相对论给出了不同惯性系考察物理现象之间关系 , 所以要从狭义相对论出发进行讨论 . 在狭义相对论中 , 3维速度 推广为 4维速度 ，,3维作用力 推广为 4维力 , , 式中. 物体所受的引力 当然与引力场强度 成正比 ，也与物体自身的质量 成正比 . 磁场对电荷作用力是与电荷的速度成正比 . 考虑到这－点 , 应该假定引力 还与受作用物体的 4维速度 的 次方成正比 ( 时就变为无关 ) . 一般形式可以写为

(5)

根据狭义相对论 ，人们在两个作相对运动的惯性坐标中观察同一物理量 (例如 4维速度 )，其观察结果是不同的 ，但两个观察之间存在一定关系 (洛仑兹变换 ) ，并且在这两个坐标系中物理定律 (例如 ( 5 )式 ) 的形式是相同的 . 根据这一点可以得到 : 上式中如果 有 个下标 , 则应该有 个 因子 . 这里给出的是狭义相对论的限制 , 但对于引力作用 应该是多少呢 ？到现在我们还不知道 .

根据 (5 )式 ，可得到 3维力是

(6)

3维引力与 因子成正比 ，再乘上一个 的多项式 .

狭义相对性引力理论的 第一基本假定是引力质量与惯性质量相等 . 狭义相对论已经证明 : 惯性质量与速度有关

(7)

由这个假定得到引力质量与速度之间应有相同的关系

(8)

物体所受的 3维引力是与 成正比 ，对比 (6 )式与 (8 )式 ，立即得到.引力质量与惯性质量相等意味 : ( i )引力场是 3阶张量场 ，(ii) 4维引力准确形式是

(9)

这点是很有趣的 , 狭义相对论引力理论与广义相对论虽然时空概念不同 . 但都由得到 4维加速度是 4维速度的二次函数 . 但是在平直时空中 , 存在关系, 由这一关系得到 3维引力公式是

(10)

式中 是 的线性组合 . (10)式中包含一个 因子 , 另－个因子是 的二次多项式 . (10 )式的特征是第 4项 ( 的二次项 )的方向与速度垂直 . 对广义相对论却没有这个限制 , 其速度二次项不与速度垂直 .

牛顿引力是极低速物体间的引力实验的总结 . 在 情况下 , (10 )式变为

(11)

它就是牛顿引力 . 它类似于电磁作用中的库仑力 . 电荷之间除了库仑力 ，还存在磁场对运动电荷的作用力 . 这个力的特点是它与物体的运动方向垂直

(12)

(10)式中第一项 (牛顿项 )的性质类似于电场力 ，第二项的性质类似于磁场力 ，其余两项是电磁作用所没有的 .

一个完整的引力理论应包括两方面内容 : ( i ) 一个物体如何产生引力场 ; (ii)引力场对另一物体作用力是多大 , 方向如何 ? 上面讨论的是第二个问题 . 现在讨论第一个问题 ：一个物体如何产生引力场 ？引力场在时空中如何传播 ？引力场强 可以写为引力势 对时空的偏导数 . 根据平直时空的性质 ，这个关系只能写为

(13)

(在广义相对论中 , 场强与势的关系与上式不一样 ) , 则牛顿引力势所满足的方程是

(14)

引力势方程在所有惯性系中都具有相同形式 ，根据这一要求 , (14 )式应推广为

(15)

式中 是待定系数 . 选择 ，狭义相对性引力理论 第二基本假定是 ：在线性近似下引力势方程是

(16)

(4)三个引力理论比较

虽然狭义相对性引力理论与广义相对论的基本观点不同 ，但基本方程的数学形式有相似之处 .

(a) 从基本事实 出发分别得到

(广义相对论 ) (4)

(狭义相对论引力理论 ) (9)

虽然爱因斯坦想用非惯性坐标系中的惯性运动耒说明引力 , 但仍然使用加速度概念 . 这两个式子相似之处是 4维加速度是 4维速度的二次函数 , (4), (9)式中与 代表两个理论的场强 . 由于两个理论的时空性质不同 ，由此得出场强与引力势的关系也不同 ，并可进一步导出 ，在线性近似下 , 两个理论的场强存在如下关系

, …… (17)

我们与爱因斯坦争论的焦点是场强到底多大 ？ 的实验值是否全为零 ？如果的实验值全为零 , 则回到狭义相对性引力理论 .

(b)为了与牛顿引力比较 ，把三个引力理论的 3维引力公式写在一起

, (牛顿引力 ) (18)

(广义相对论 ) (19)

(狭义相对性引力理论 ) (10)

这就是说，牛顿引力是与受作用物体的速度 无关的 ，爱因斯坦与我们的引力都包含牛顿引力及与速度 有关的附加引力 . 爱因斯坦和我们与牛顿争论的焦点是 : 引力中是否包有与物体速度 有关的附加引力 . 爱因斯坦与我们争论的焦点是 : 附加引力具有什么性质 ？由平直时空直接得到 , (10 )式的 笫四项的方向与速度垂直 ，(19 )式的第四项没有这一性质. 此外 (10 )，(19 )的笫二三项大小也各不相同 .　

(II)实验是检验理论的唯一标准

(1)物体在静止球体所产生的引力场中的运动

人们观察物体在太阳 (场源 )产生的引力场中的运动时 , 是在太阳 (场源 )静止坐标系中进行观察的 , 这时

,

因此三个引力理论中的3维引力公式简化为

应强调一句 , 在静止场源情况下争论的焦点是 : 狭义相对性引力理论认为唯一附加引力是与速度正交 , 广义相对论则认为附加引力不与速度正交 .

三个引力理论用相同的程序导出物体的运动轨迹 :

引力公式à 能量(动能)变化 关系式, 角动量变化 关系式à 物体的轨迹方程

我们先看中间结果

牛顿引力理论 :

(20)

爱因斯坦引力理论 :

(21)

狭义相对性引力理论 :

(22)

为了比较 , 把相对论公式 代入 (20 )式第一式 . 三个理论都包含牛顿引力项 , 因此都包含牛顿引力作的功 . 狭义相对性引力理论中的附加引力的方向与速度垂直 , 因此附加引力不做功 , 在(22)式中笫一式中只有牛顿力做功引起的能量变化 . 在广义相对论中 , 由于除牛顿力外还有其他原因引起能量变化 , 所以(21 )式中第一式中出现一个“ 2”因子 . 因此检验物体在引力场中的能量变化就能判断出附加引力的方向和大小 . 下面看看实验结果 .　

(a)牛顿引力理论的确立和危机

根据牛顿引力理论的联立方程式 (20 )得到 , 行星绕太阳运动应是椭园运动 . 以前的观察结果与理论一致 . 这一事实确立了牛顿引力理论的统治地位 . 但精细观察得到水星近日点 (或椭园长轴 )有微小的移动 , 43”/百年 (图 3 ) . 这件事牛顿引力理论不能给予解释 . 统治了两三百年的牛顿引力理论出现危机 . 这一事件在建立广义相对论前 60年就知道了 , 但一直不能很好解释 .　

(b)爱因斯坦是怎样打败牛顿的

图3 行星近日点的移动 图4 光通过太阳附近时的偏折

建立广义相对论过程经过了十年的反复 , 一直到 1915年 11月 18日才确定理论的最后形式 , 并成功解释行星近日点的移动 . 但关键的实验是光偏折 . 光线通过太阳附近时受到太阳的吸引而偏折 . 1912年爱因斯坦就提出这个问题 , 幸好由于种种原因干扰而未能进行观察 . 1915年 11月 18日爱因斯坦求出光偏折角 , 牛顿理论的预期值是 . 1919年 9月完成第一次观察 , 11月宣布观察结果 , 爱因斯坦预期值是正确的 . 世界上各大报报道这一消息 . “牛顿思想被推翻 ” , “人类历史最伟大成就 ” .

行星近日点移动和光的偏折两个实验证明 : (20 )式中两个式子中至少有一个是错的 . 引力中 , 除了牛顿引力外还应该有附加引力 , 但附加引力应具有什么性质呢 ?　

(c)光的红移和广义相对论的危机

在太阳表面发出一定频率的光 , 当它到达地球表面时频率减少

(23)

爱因斯坦用“在引力场中不同地点, 时间间隔不同 ”来说明 (23 )式 , 因此这个实验成为广义相对论的实验根据 . 但是这是不够的 . 光子的能量与频率的爱因斯坦关系是

(24)

因此

(25)

这一公式是光子从 运动到 的能量变化 . 与 (21 )式比较 , (21 )式的第一式比实验值多了一个“ 2”因子 . 因此 (21 )式第一式是不符合实际的 , 是错误的 . 所以人们最多只能讲“广义相对论结果与 二个半实验一致” . 严重的是 , 人们 没有理由相信在其他情况下 , 例如在光偏折实验中 , (21 )式中的第一式仍能正确地描述物体的能量变化 . 但是广义相对论正是从 (21 )式的两个式子出发去解释光的偏折和行星近日点的移动 , 所以这种解释不可能是本质的 . 比较(20 )式和 (21 )式就可以看出 ,实验否定的是广义相对论对牛顿引力理论的关键性修改 . 这样一来广义相对论将失去实验的支持 , 所以这一事实称为广义相对论的红移危机 .

(d)唯一可能的解释

(i) 根据光红移实验得出的结果 , 物体在静止球体产生的引力场中运动时其能量变化是

(26)

这一实验证明 : 平直时空的如下结论是正确的 , “只有牛顿力对能量变化有贡献 , 附加引力的方向与速度垂直 , 不做功 , 不对能量变化作贡献” .

(ii) 根据行星近日点移动和光偏折实验 , 联立方程 (20 )中两个式中至少一个是错的 , 光红移实验证明第一个式子没错 , 那么 唯一可能是第二个式子错了 . 角动量变化量不为零 . 附加引力不做功 , 但使角动量变化 . 平直时空引力理论得出的附加力正好满足这一要求 . 它的方向与速度垂直 , 它不是有心力 , 因而必然导致物体运动时其角动量发生变化 . 这正是联立方程组 (21 ) . 它的两个式子联立恰好正确地说明行星近日点的移动和光的偏折 .　

(2)物体在运动球体的引力场中的运动

广义相对论和狭义相对论引力理论都预言 : 在场源运动情况下 , , . 只有观察到有关的附加引力所产生的效应 , 才能全面认识引力的性质 . 但是这两种附加引力都很微弱 , 附加引力与牛顿引力之比

(27)

所以实验极困难 .

美国航空和宇宙航天局与史坦福大学合作准备进行一项新的引力实验 . 该项实验的题目是“用轨道陀螺――引力探测器-B――检验爱因斯坦” . 简称GP－B (引力探测器-B )实验 . 所谓轨道陀螺就是安装在作轨道运动的卫星上的陀螺 . 当卫星绕地球作轨道运动时 , 从卫星瞬时静止坐标系看来地球绕卫星运动 . 此外地球还绕自转轴旋转 . 地球的这两类运动分别产生两种附加引力场 . 分别称为轨道效应 (短程线效应 )和自转效应 (坐标拖曳效应 )的附加引力场分量 . 每一种场分量都使陀螺产生进动 . 两个引力理论给出的引力场分量的值不同 , 所以两个理论预期的陀螺进动率也不同 . 测量陀螺实际进动率就可以判定那个引力理论是正确的 , 时空是否弯曲 .

轨道效应 (短程线效应 )的陀螺角加速度预期值

(狭义相对论引力理论 ) (28 )

(广义相对论 ) (29 )

GP-B组根椐 (29 )式和实验条件求得广义相对论的短程效应进动率是 6.6弧度秒/年 .

因此狭义相对论引力理论的轨道效应进动率应是 4.4弧度秒/年 .

实验误差低于程短线效应预期进动角的 1/10000.

应该指出我们可以从另一组前提出发讨论这一问题 . 由前面讨论的三个经典相对论引力实验结果出发 , 可以求出静止球体对另一物体作用力公式和它产生的引力场强 . 应用洛仑兹变换式 , 可以求运动球体产生的引力场 , 最后求出陀螺的角加速度 . 其结果与 (28 )式相同 . 因此 GP-B实验得到我们预期结果的可能性是极大的 . 如果在实验中得到狭义相对论引力理论所预期的轨道效应陀螺进动率 , 则由此可以证明广义相对论对三个经典相对性引力实验的解释是错误的 .

地球自转(坐标拖曳)效应的陀螺角加速度在赤道平面上投影的预期值是

(狭义相对论引力理论 ) (31 )

(广义相对论 ) (32 )

根据 (32 )式及实验条件, GP-B组给出广义相对论拖曳效应陀螺进动率是弧度秒/年 . 狭义相对论引力理论的地球自转效应进动率应是弧度秒/年 .

图5 的定义

实验中卫星轨道平面通过地球极轴, 图中 是赤道平面 轨道平面法线.

图6 和 与 的关系 .