汕头大学 章钧豪

19世纪末、20世纪初, 物理学的兰天上有两朵小小乌云, 顷刻间变成乌云密布、雷电交加, 终于爆发了20世纪物理学革命。现在在物理学的天空上也有两朵乌云: 一朵是广义相对论的 “红移危机”, 另一朵是量子力学跃迁理论的 “未知误差”。由于广义相对论和量子力学是20世纪物理三大支柱中的两根, 这两朵乌云必将导致21世纪物理学革命的到来。

人们有一条共识, 一个物理理论的数学推理必须是严谨的, 它的物理论结果必须与实验一致。本文正是从这两点出发讨论问题的。

下面介绍我所看到的这两个理论存在的问题, 是否出现物理学革命问题是一种客观必然性, 不是任何人能造出来的. 事实上很多工作已经开始在进行. 不同学者可个能有不能态度, 这是很自然的. 当然要弄清我的推导和论断不是一件容易的事, 但是对于一个未来的理论物理学家却是需要弄清它。例如你在量子力学、量子场论基础上做工作, 会不会做了一辈子工作都是白做的呢? 从积极角度来看, 做研究工作一定要抓住机会, 抓正在成长的新学科. 这样你才有施展才能的空间, 才能有重大突破. 历史上要几十年或更长时间才能出现一次这样的机会, 我想你大概不会轻易放过这一历史难逢的机会吧!

1. 引力理论正在进行一场大搏斗

经典引力理论是建立在平直时空基础上的。牛顿万有引力公式和牛顿第二定律是经引力理论的两条基本定律。由这两条定律得到: 当一个物体(例如行星)在另一个物体(例如太阳)的引力场中运动时, 引力场引起的能量变化和引起的角动量变化分别是

(1-1)

(1-2)

由这两条公式可以进一步推出行星绕太阳运动轨迹—椭园运动。19世纪末就已经观察到行星的近日点缓慢移动(或它的椭园轴在缓慢转动)。这是经典引力理论所不能解释的, 这一理论面临极大困难。

广义相对论认为: 一个物体使自已周围时空弯曲, 另一物体在弯曲时空中沿短程线运动, 这就是引力的本质。由广义相对论引力场方程和短程线方程, 在线性近似下得到另一组方程

(1-3)

(1-4)

这组方程成功解释了行星近日点的移动。光子经过太阳附近时受到太阳的吸引而改变方向,由(1-3)—(1-4)式求出的光偏折角是牛顿理论预期值的一倍。实际观察结果是与广义相对论一致, 爱因斯坦取得巨大胜利。随后人们观察到从太阳发出的光线到达地球时其频率由变为

(1-5)

广义相对论用引力势场中不同点时间间隔不同解释了这个实验结果。所以人们认为上述三个经典相对论引力实验支持广义相对论, 并且进一步得到时空是弯曲的结论。

然而根据爱因斯坦的光子能量与频率的关系式, (1-5)式实际上是

(1-6)

这个式子是光红移实验结果的另一种表示形式。它恰好是情况下的(1-1)式, 而不是广义相对论所预期的(1-3)式。或者说光红移实验明确告诉人们, 物体在太阳引力场中运动时只有牛顿引力作功。长期以来人们对此迷惑不解。史坦福大学引力研究小组正式承认广义相对论只得到两个半实验的支持。半个不支持广义相对论的实验就是指(1-6)式与(1-3)式矛盾。

半个不支持广义相对论的实验意味着什么呢? 光偏折实验和光红移实验都是观察同一物理过程—光子从太阳到地球的运动。因此不可能在两种观察中, 光子具有两种不同的能量变化。(1-6)式是实验结果，因此它是正确的。由于不可能有另一种能量变化也是正确的，所以应排除(1-3)式是正确的可能性。

如果摆脱广义相对论思考框框的束缚, 人们是不难由实验导出正确的结论。由行星近日点的移动和光偏角得出联立方程(1-1)—(1-2)是错的, 只有这三种可能: (a) 式错了; (b) 式错了; (c) 和两式都错了。光红移实验告诉人们: 式没有错, 那么三种可能中只剩下一种可能, 式错了。广义相对论导出的(1-3)、(1-4)两个式子恰好相反, 把不应该改动的(1-1)式改了, 而应该改动的(1-2)式却没改。由于(1-3)—(1-4)式都错, 而两个错误产生的效果碰巧互相抵消, 导出一个与实验一致的行星近日点的移动和光偏角结果, 这点正是使人迷惑之处。无论如何, 广义相对论解释行星近日点移动和光偏折的一个前提(1-3)式已被另一个实验(光红移)否定了, 这种解释就不是本质的。这样本质上广义相对论将只得到这三个实验中半个实验的支持。我们把红移实验暴露出来的困难称为广义相对论的红移危机。

1990年我们在平直时空的基础上建立了一个新的引力理论— “狭义相对论引力理论”。采用平直时空本身就意味着放弃广义相对论通过 “时空弯曲” 传递引力的观点。我们假定作为引力的传递者是引力场, 即我们采用普适作用模型。整个理论是建立在狭义相对论基础上。狭义相对论引力理论的第一基本假定是引力质量等于惯性质量. 在狭义相对论中已经证明

(1-7)

式中是物体运动的3维速度。 因此引力质量也应有相同的关系。 由狭义相对论协变性可以导出: 当物体受阶张量场作用时, 物体与场的耦合系数是()。 引力质量是物体与引力场耦合的系数, (1-7)式给出了这个耦合系数与成正比。 由此得到引力场是3阶张量场, 并且4维引力公式具有如下形式

(1-8)

式中是引力场强, 是受作用物体的4维速度.

在狭义相对论中有

(1-9)

它的意义是物体能量的增加率等于力所做的功率。 由此得到

1. 引力的3维形式是

(1-10)

式中是的线性组合。 这个式子中, 是的函数, 另一个因子是的二次多项式。 有两点是极为重要的, 第一项除外是与速度无关的, 所以这一项是牛顿引力。 狭义相对论认为牛顿引力是不完整的, 因此牛顿引力理论的结果必然与实验矛盾。 其次第四项的方向与正交, 这是平直时空的特有结论。

2. 当人们用2阶张量势的偏导表示引力场强时, 这个关系只能是

(1-11)

它与广义相对论中相关式子的差别是至关重要的, 由此引出一系列不同的结论。

根据牛顿引力势所满足的方程和狭义相对论协变性要求, 我们提出狭义相对论引力理论的第二基本假定, 在线性近似下引力势满足如下基本方程

(1-12)

虽然这个式子与广义相对论的对应方程类似，但由于(1-8)式与广义相对论的对应方程不同，因此求出的引力场场强是完全不同的。

由(1-11)式和(1-12)式可以求出一个静止球体所产生的引力场强，并进一步求出另一物体在这一引力场中所受的3维引力是

(1-13)

(1-14)

(1-13)式中第一项是牛顿引力，第二项是狭义相对论协变性所要求的附加引力。 当物体在静止场源的引力场中运动时，由于附加引力始终与正交, 所以这一附加引力是不做功的，只有牛顿引力做功。 这一点与广义相对论是完全不同的。 根据(1-13)式, 可以求出当物体从引力场中的点移动到点时的能量变化和角动量变化分别是

(1-15)

(1-16)

这组联立方程保留了(1-1)式不变, 而修改了(1-2)式, 因此有希望统一地解释上述三个实验。当光子从太阳()运动到地球()时，根据爱因斯坦关于光子能量和频率的关系, 很容易把(1-15)式改写为

(1-17)

这就是光的红移公式，它与实验完全一致. 由(1-15)和(1-16)式可求出物体在引力场中运动的轨迹方程，并最后得到行星近日点的移动是

(1-18)

光经过太阳附近的偏折角是

(1-19)

这两个理论结果也都与实验一致。 可见, 牛顿引力理论只是由于它不具备狭义相对论协变性而与实验矛盾。 这样我们可以得出结论: 三个经典相对论引力实验并没有证明时空不是平直的。 这里也没有出现象广义相对论那样的红移危机, 因此三个经典相对论性引力实验更有利于平直时空引力理论, 而不利于弯曲时空的引力理论。

库仑定律和牛顿万有引力公式是极相似的, 但运动的电荷除了产生电场外, 还产生磁场。人们自然要问: 运动的物体是否产生性质类似于磁场的附加引力场? 广义相对论和狭义相对论引力理论都预期存在着类磁的引力场分量, 简称分量引力场。 此外理论预期引力场中还存在着电磁场所没有的分量场。到现在为止, 人们只观察静止物体产生的引力场, 这种引力场的分量和分量为零。要弄清在一般情况下分量和分量是否存在? 强度多大? 就必需观察运动物体的所产生的引力场。史坦福大学以L.I.Schiff为首的一批物理学家提出一个题目为 “用轨道陀螺—引力探测器B检验爱因斯坦” 的实验, 下面将把它称为GP-B(引力探测器-B)实验。这个实验的目的正是探测运动物体所产生的引力场分量和分量。经过20多年的准备(后来与美国国家航空和宇宙航行局合作), 拟于2002年秋天将专用实验卫星送上天，实验约需进行一年半到两年时间。投入大量人力和资金做这个实验, 说明这项实验对人类认识引力作用具有极重大意义。

在电磁学中, 人们用一个载电流线圈来产生磁场, 用另一个载电流线圈来观察磁场对它的作用。当卫星绕地球旋转时, 在卫星瞬时静止坐标系看来地球绕卫星作旋转运动。这时运动的地球将产生分量和分量引力场。在卫星上安置4个旋转的陀螺, 它们将在这两类引力场的作用下进动, 测量陀螺的进动率就可以知道那个引力理论所预期的引力场强度是正确的。

L.I.Schiff求出了广义相对论所预期的由卫星轨道运动引起的角加速度(广义相对论称为度规效应)是

(1-20)

GP-B组根据这个公式和实验条件得出度规进动率的预期值是6.6 由狭义相对论引力理论求出的轨道效应角加速度是

(1-21)

所以对应的轨道效应进动率预期值是4.4

此外地球的自转运动也产生另一附加的分量场和分量场, 它们也引起陀螺的另一类进动, 广义相对论把它称为坐标拖曳进动率。 L.I.Schiff求出

(1-22)

GP-B组根据实验条件和这个公式求出它的预期值为0.042

狭义相对论引力理论得出地球自转效应陀螺角加速度是

(1-23)

因此对应的地球转动效应进动率是 式中的定义如下图 .

图1 图中是轨道平面, 是赤道平面, 是轨道平面的法线, 是陀螺的角速度。

(1-20)—(1-24)是判定时空是平直还是弯曲的标准。

两个引力理论都是从引力场方程和物体在引力场中运动方程出发推导出轨道效应陀螺进动公式。可以由另一组前提出发来讨论这一问题。前面提到的三个实验的结果可以唯一确定静止物体所产生的引力场全部分量, 作一个坐标变换就可以得到运动物体产生的引力场分量, 进一步可求陀螺进动率。这个新前提下求得的结果与我们所预期的(1-21)式完全相同。所以实验结果与我们预期值相同的可能性要大得多。

广义相对论预期地球转动效应陀螺进动率与无关, 因此GP-B实验中4个陀螺旋转轴被安置在同一方向上, 用同一瞄准器对准天上一颗恒星. 这样就没法判定(1-23) 式中所预期的进动率与的关系是否是正确? 因而也就不能为判定时空是否平直提供实验依据, 这无疑是一大损失。我们已直接向负责该实验的Everitt教授提过这一问题. 当然目前要在卫星内增加一个瞄准器是很困难, 不知道他们会如何处理这一问题。

不管怎么说, 这个实验会对时空是否平直, 那个引力理论是正确这两个问题提供新的决定性的实验证据。此外这一实验还会对三个经典相对论实验的那种解释是正确的讨论提供新的依据。

量子力学用Schrödinger方程

(2-1)

描述原子中电子从一种状态跃迁到另一种状态的过程. 式中是时间因子. 量子力学含时微扰理论把展开为级数

(2-2)

这样(2-1)式变为近似方程

(2-3)

(2-4)

可惜到目前为止, 人们只找出这个级数的前几项(不超过10阶). 所以只能用前面有限项之和代替整个级数去描述实验, 这样必然产生误差. 由于人们既没有求出, 更没有求出, 因此无法回答这个误差到底多大的问题. 所以用一句严格的话讲, 对于跃迁问题, 量子力学的一切理论结论是以未知误差作为它的前提. 这是量子力学的最大隐患, 因为如果把这个误差求出来, 并且发现误差很大的话, 它就会象一个恐怖黑洞那样吞没量子力学在时间问题上的一切成果。因此这一理论的基本问题是, 到底有限阶近似解之和能不能代替准确解? 所产生的误差是不是允许的? 这是量子力学的最重大的基本悬案. 也是20世纪物理理论的最大悬案. 解开这一悬案必须先解决如下三个问题: (1)任意N阶近似的表示式是怎么样? (2)准确解的形式是怎么样? (3)含时微扰级数在那个区域内收敛? 大多数理论物理学家认为这是一个不能逾越的难题. 当然解决这一悬案一定要冗长繁难的数学推导. 在这里只能对基本思路作一些简介. 对这一问题有兴趣的学者可以进一步参考我的其它文章.

当然问题的关键在于求含时微扰的任意N阶近解. 而解决这个问题的要害是要能从前几阶近似解看出它的一般规律. 目前已求出的低阶含时微扰公式在形式上太复杂, 很难看出它的变化规律. 所以应该寻找一个比较简单的表示形式. 量子力学前几阶近似结果是用表示，如果把量子力学求出结果中的 换为 , 就会得出意想不到的结果. 这里 是由定态微扰方程

(2-5)

(2-6)

求出的本征函数的N阶近似..

量子力学只讨论两种类型的时间因子

(2-7)

和

(2-8)

所有量子力学教科书首先讨论的是时间因子为, 的本征值为分立谱情况。把量子力学结果中的 换为 得到如下的结果

(2-9)

(2-10)

(2-11)

上式中引入下标q是表示由量子力学含时微扰法求出的式子. 量子力学求出的2阶近似公式与与(2-11)式差一点，这一差别来源于量子力学含时微扰法在计算时忽略了的贡献. 从这三个式子你一定会猜想到, 对任意N阶近似解的普遍表达式应是

(2-12)

这个公式已经包含量子力学在这个问题上的所有成果，而且推广到任意N阶情况. 这样, 你可以轻易的跨过这个被认为是不能逾越的障碍. 下一步是求和,

,

(2-13)

然而这个式子还不是Schrödinger方程的准确解. 毛病出在量子力学求1阶微扰近似时,只讨论情况. 如果把的结果也考虑进去，1阶和各阶近似解的表示式都要补充. 如果细心一点, 就可以发现含时微扰给出的表示式(2-10)、(2-11)、(2-12)的数学结构是不完整的, 它只含项, 不含项. 完整的N阶近似表示式是

(2-14)

(2-10)、(2-11)、(2-12)式只是它的第一项. 我们能够用数学归纳法证明这个式子是正确的, 并求出系数的递推关系. 由于(2-12)式不是数学结构完整的表示式, 所以不能在(2-12)式形式下用数学归纳法证明它是正确的. 但是作为(2-14)式第一项系数

(2-15)

它是正确的. 同样的计算过程，得到准确解形式应修改为

(2-16)

直接代入Schrödinger方程可以证明: 对于任意能量, 上式都是它的准确解, 并且满足指定初始条体. 但这样的图象不能描述跃迁过程。事实上按照量子力学单位时间跃迁几率的定义

(2-17)

为什么准确解不能描述物理过程, 而量子力学含时微扰解却能描述物理过程呢? 由上面讨论知道, 准确解在的任意区域都是正确的. 含时微扰(2-9)式或

(2-18)

在本质上是把(2-16)式中的按定态微扰展开.它只在定态微扰级数收敛区域内才近似正确. 但量子力学把它应用到级数发散区域.

在这个区域内用有限阶近似解代替准确解将产生足够大的误差,

(2-19)

当 时, . 因此, 由(2-18)式求出的Fermi黄金定则在数学上是错误的. 它不是Schr?dinger方程在数学上合理的推论.

图2 I是级数发散区, 量子力学把一阶微扰用于求发散区内的跃迁几率

结论: 在时间因子为, 的本征值是分立谱情况下, Schrödinger方程的准确解是不能描述跃迁过程. 在能量守恒的邻域内, 含时微扰用前面有限阶近似解之和代替准确解导致极大误差, 因而在数学上是错误. 这个错误掩盖Schrödinger方程准确解不能描述跃过程这一事实.

对于本征值是连续谱, 时间因子是的情况, 在我的有关文章中有专题讨论. 有需要的学家者可以参阅这些论文

量子力学认为应该用波动图象来描述电子的运动. (2-16)式给出的正好是一种标准的状态随时间变化的波动图象. 体系在各种可能状态之间来回振荡, 因此平均单位时间跃迁几率为零. 所以这一图象是不能描述跃迁过程的. (2-18)式给出的是一种特殊的波动图象, 它可以按量子力学给出的做法来描述跃迁. 但是这种振动的特点是: 当时, 振幅趋于无穷大, 这本身就与量子力学的基本约定矛盾. 振幅的平方代表体系出现在某一状态的几率, 而这种几率是不会超过100%, 更不会趋于无穷大, 所以它是数学错误产生的. 这就是以上讨论的实质.

对含时微扰级数收敛性的讨论无疑有助于弄清量子力学的悬案. 回避不是解决问题的办法. 况且任何物理理论都不可能迥避严格的数学推理. 我相信在21世纪人们必定能够找出新的图象来描述微观物理过程.

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20. 曾谨言, 量子力学.

21. www.newpo.com上陈列有我的有关文章.