Schrödinger方程能描述跃迁过程吗

                    -----20世纪物理理论最重大悬案之解

                          汕头大学 物理系      章钧豪

    量子力学未能求出含时微扰中的任意阶近似解, 更没有求出准确解和微扰级数发散区间. 这三个问题不解决, 就不能准确回答, 到底Schrödinger 方程是否真的能够描述跃迁过程这一问题. 因此这些问题构成20世纪物理理论的最重大悬案. 本文回答了上述三个问题, 并证明: 量子力学的基本错误是在级数发散区域内,用有限阶近似解之和代替准确解. 所以Fermi黄金定则不是Schrödinger 方程在数学上合理的推论. Schrödinger方程的准确解并不能描述跃迁过程.

    本文尽可能使非从事理论物理工作的读者能弄清它的思路和要点.

(1) 20世纪物理理论最重大的悬案

量子力学认为, 体系随时间变化由Schrödinger方程

   (1)描述. 式中

   (2)

这里把写成不随时间变化的与一个时间因子之积. 量子力学只讨论两种类型的, 即

   (3)

或

   (4)

的本征值有两种, 即分立谱和连续谱. 需要分别对这几种情况作讨论. 当然重点讨论是能谱是分立和时间因子是情况. 按量

子力学处理方法, 在分立谱请况下,设

   (5)

则方程(1)改写为

   (6)

量子力学用含时微扰法来处理(6)式. 设

   (7)

这样用近似方程组

   (8)

   (9)

代替准确方程(6).

    到目前为止, 人们只求出(7)式的前几项, 而没有求出任意N阶近似解. 因此只能用前面有限阶近似解之和代替准确解

   (10)

去描述时间过程.

    问题就在于: M以后无穷多项之和是否真能抛弃. 从物理角度来考虑, 如果被抛弃部分远大于实验误差. 那么人们就不可能根据前几阶近似解之和与实验结果得出任何结论. “Schrödinger方程能够描述时间过程” 就变为一句空话. 从数学上讲, 是能量

的函数. 只有在级数收敛的区域内, 对于任意给定的小数, 才可能找到一个M使得

   (11)

成立. 寻找级数(7)的任意阶近似解, 寻找准确解, 寻找级数的收敛区域, 这三个问题构成量子力学的最重

大的悬案. 它关系到量子力学是否真的与实验一致这样基本问题. 因此它也是20世纪物理理论的最大的悬案.

(2) 能谱分立, 时间因子是情况下讨论

   上面公式中包括, 这表明它是在能谱分立情况下的公式. 任何一书本量子力学书都是首

先在这个条件下进行讨论. 下面讨论区域内Schrödinger方程和它的近似方程的解.

   (2-1) 任意阶近似解表示式

   由上面讨论可以看出: 解决问题的关键是寻找任意阶近似解的表示式. 在另一篇文章中将详细介绍推导的计算过程. 在本文中只给出的表示式, 它是

   (12)

并在附录A中介绍用代入法验证: 对任意阶, 上式都是正确的. (12)式的每一项由两个因子, 即的多项式和相乘而得. 式中是与无关的系数. 考虑定态方程

   (13)

   (14)

设

   (15)

   (16)

则定态微扰方程是

   (17)

其中还满足正交规一化关系

   (18)

   是的函数.

   (2-2)准确解的形式

按照(7)式,

    (19)

计算这个式子可以得到

    (20)

对于这个计算过程有兴趣的学者可以参考附录B. 这个过程反过耒证明: 把表示式(20)中的系数按定态微扰展开, 就得到各阶的含时微扰近似. 最后一步我们还需要证明(20)式的确是Schrödinger方程的解, 并满足指定的初始条件. 这一步请参考附录C.

   (2-3) 含时微扰法的数学错误

在确认了这三点:

(i) (20)式的确是Schrödinger方程的解, 并满足指定的初始条件,

(ii) 把表示式中的系数按定态微扰展开, 然后按近似的阶数分类,就得到,

(iii) 是含时微扰的阶近似方程的解

之后, 我们就有基础讨论量子力学的悬案的核心---级数的收敛区域.

准确解应该用定态方程的解表示, 把按定态微扰解展开代入准确解, 就得到含时微扰的各阶近似解. 因此定态微扰的发散区域就是含时微扰解的发散区域. 量子力学已经作出结论: 在区域内定态微扰级数是发散的, 因此在这一区域内含时微扰法求得的级数也是发散的. 这时对于指定的小数, 不可能找到一个, 使得

成立. 它的物理意义是, 在这个区域内不论你计算到多少阶近似, 都不可能使有限阶近似解之和与准确解之差的绝对值小于指定的误差.

含时微扰法的错误在于用有限阶近似解的和代替准确解, 并把它用于求发散区域 (能量守恒邻域)的跃迁几率. 下面以含时微扰1阶近似为例进行说明.

    (21)

这个式子与量子力学求出的完全相同. 但是

    (22)

这个式子只能应用在区域, 这点在以前是没人指出过. 事实上量子力学这样进一步推导

    (23)

    这里有两个问题: 起初量子力学是在分立谱情况推出(23)式的第一行, 然后把分立谱条件下的结果原封不动地搬到连续谱情况下, 并得到(23)式第二行. 这种做法的合理性是可疑的, 因为在这两种不同情况下规一化条件是不同的. 这点请看连续谱情况下讨论. 量子力学讨论了与的关系. 指出在区域内, 函数出现一个峰值. 这个峰值正是由错误的因子产生的. 当时, 主峰的高度趋于无穷大, 峰的宽度变为无穷窄, 所讨论的函数变为函数. 其实当时, 整个函数的主峰已全部落在含时微扰级数的发散区域内, (23)式的第三行正是在这个前提下得出的.

图1 当时, 整个主峰落在含时微扰发散区域内.

由(23)式得到单位时间跃迁几率是

    (24)

Fermi把这个式子称为黄金定则. 当然如果这个式子是正确的, 那么对于某个过程, 人们总可以找到一个来描述它, 但这个式子并不是Schrödinger方程数学合理的推论.

根据量子力学的单位时间跃迁几率的定义, 由准确解得出

    (25)

注意到

是单位矢量的分量表示式, 是另一单位矢量的分量. 因此

    (26)

代表两个单位矢量之积. 所以

    (27)

把(27)式代入(25)式, 可得到

    (28)

这是由Schrödinger方程的准确解导出的单位时间跃迁几率, 它不能描述跃迁过程.

结论:

1. 含时微扰法在本质上是将准确解表示式中的按定态微扰展开,
2. 定态微扰级数的收敛区域是, 它也是含时微扰级数的收敛区域,
3. 只在收敛区域内才能用有限阶近似解之和代替准确解. 含时微扰法的基本错误是用有限阶近似解之和代替准确解,去计算区域内的跃迁几率. 在分立谱情况下Fermi黄金定则并不是Schrödinger方程在数学上合理的推论,
4. 在没有找出任意阶近似解情况下, 人们只能用有限阶近似解之和代替准确解. 现在求出来了,也求出来了. 人们没有什么理由一定要再用有限阶近似解之和代替准确解. 可惜的是, 由Schrödinger方程准确解导出的单位时间跃迁几率为零, 这个结果不能描述跃迁过程.

(3)能谱连续, 时间因子为情况下讨论

       在连续谱情况下, 必须把能量当作连续变量, 把求和改为求积, 而最重要的是把改

为, 其余部分不变. 这样的变化, 不可能使结果与分立谱情况的有什么不同.

(3-1) Schrödinger方程的形式和它的准确解

这时Schrödinger方程应写为

    (29)

并满足初始条件

   (30)

在这一条件下, 体系处于邻域的几率为

   (31)

Schrödinger方程的准确解是

   (32)

式中是定态方程

   (33)

的解并满足正交规一化关系

   (34)

   (35)

(3-2) 含时微扰法和它的解

含时微扰法用近似方程

    (36)

代替准确方程, 其初始条件分别是

    (37)

    (38)

把定态微扰展开式

    (39)

    (40)

代入(32)式中, 并按近似的阶数分解, 可以得到

    (41)

其中是

    (42)

可以证明是阶近似方程(36)的解. 式中与的关系与分立谱情况相同. 在连续情况下, 零阶和1阶定态微扰近似是

    (43)

    (44)

因此在函数峰值附近

    (45)

在函数峰值附近, . 因此仍然不能用含时微扰的有限阶近似解之和代替准确解.

(3-3)准确解导出的单位时间跃迁几率

量子力学的跃迁几率是一种相对几率, 它的准确定义是

    (46)

上式中分母是

    (47)

分子是

    (48)

式中

代表两个规一化矢量之积, 因此

(49)

当在区域内时, 在连续谱请况下

(50)

这时, 由Schrödinger方程准确解导出的单位时间跃迁几率也不能说明跃迁过程.

(4)能谱分立时间因子是情况下讨论

量子力学用

(51)

描述电子体系在电磁场作用下从一个能级跃迁到另一个能级的过程. 按照惯例只讨论能级分立的情况. 在这种情况下量子力学把Schrödinger方程写为如下形式

(52)

式中

(53)

(52)式的数学结构与情况下Schrödinger方程的结构没有本质上的区别. 设

(54)

式中代表一个电子处于能态, 此外还有个光子的几率振幅. 设时,电子光子体系处于 则

(55)

根据Schrödinger方程(52)式和初始条件可以解出

(56)

式中, 是定态方程

(57)

的解. 引入符号

(58)

则定态方程改写为

(59)

这样情况下Schrödinger方程的解与情况下的解,其数学结构没有什么不同. 因此可以得到情况下Schrödinger方程的准确解也不能描写跃迁过程.

(5)量子力学的其他方程

除了Schrödinger方程外, 量子力学有时还用其它形式的方程. 例如么正矩阵方程

(60)

和格林函数方程

(61)

其中么正矩阵方程特别适于推广到量子场论. 对这两个方程都作了讨论. 其结果与Schrödinger方程一样,准确解不能用耒描述跃迁过程.

量子力学的基本任务是: 描述体系的定态运动, 描述时间有关过程. 如果量子力学基本方程的准确解不能描述时间有关过程. 那么量子力学基本观点的正确性, 图象的正确都应重新考虑.

附录A 用代入法证明含时微扰任意N阶近似解具有(12)式形式

下面用代入法证明: 含时微扰的阶近似解表示式是

(12)

式中

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

首先证明一个预备公式

(A5)

证

定态方程

(A6)

的微扰近似方程是

(A7)

(A8)

因此

(A9)

由于

(A10)

因此

(A9)式第一项 (A11)

图2两个求和所规定的范围在三角形内(包括边界上)

由图2可知

(A9)式第二项 (A12)

因此

(A5)

是正确的.

现在用数学归纳法证明: 的表示式是

(12)

当时, (12)式简化为

(A13)

因此这个式子是含时微扰零阶近似方程的解并满足初始条件. 当时, (12)式简化为

(A14)

这个式子是含时微扰1阶近似方程的解, 并满足指定初始条件.

下面证明: 如果对N阶近似解, (12)式是正确的, 则对N+1阶近似解, (12)式也是正确的.

证:

(A15)

(A15) 式第一项=

(A15)式第二项中的一个因子

所以(A15)式第二项

代入(A15)式就得到

(A16)

情况下的表示式是

(A17)

把它代入阶的微扰近似方程, 看看是否满足. 事实上

(A18)

它的确满足N+1阶的微扰近似方程. 此外

(A19)

满足初始条件. 这样, 我们证明: 当含时微扰阶近似解可以写成(12)形式时,则含时微阶近似解也可以写为(12)式形式. 前面已经证明含时微扰阶近似解可以写为(12)形式, 故对于含时微扰任意阶近似解都可以写为(12)式形式.

附录B 寻找准确解的形式

按照含时微扰法,准确解定义为

(B1)

下面的任务是计算式中的求和.

设

(B2)

则有

(B3)

应用这个关系式可以写为

(B4)

下面证明:

(B5)

由(A2), 可以得到

(B6)

因此(B5)式对于情况成立. 设该式对成立, 下面证明对也成立

(B7)

因此(B5)式对也成立. 结论: (B5)式对任意成立.

根据(A1),

(B8)

把(B5)式和(B8)式代入(B4)式中, 可以得到

(B9)

这是我们寻找的准确解. 由这一推导过程, 可以反过来证明: 把准确解中的按定态微扰展开, 就可以由准确解得到含时微扰的各阶近似解.

附录C 验证(B9) 式是Schrödinger方程的准确解

下面验证

(C1)

是Schrödinger方程的解, 并满足指定初始条件. 事实上

(C2)

所以(C1)式确实满足Schrödinger方程. 此外, 在时

(C3)

这是指定的初始条件.

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References

1. P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 3^rd.ed. (Clarendon Press,Oxfold, 1947).
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6. L.I. Shiff, Quantum Mechanics, 2^nd.ed. (1955).
7. Zhang Junhao, Physics Essays, vol. 10, No 1, 40(1997).